重庆大学2023年考研高等代数试题(重庆大学2023年录取分数线)

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• on 11月 18, 2023

二、(12 分)已知行列式 , 试求下列行列式:(1) ,(2)

,(3) .

三、(14 分) 设 是线性方程组 的系数矩阵, 且线性方程组有解, .

证明:方程组有 个线性无关的解向量;
用两种形式表示线性方程组 的通解.

四、(12 分) 设 是同阶方阵且有公共的特征值. 证明: 矩阵方程 有非零解.

五、( 15 分) 设 且 . 证明: 存在唯一的 和 使得 , 其中 为正交矩阵为上三角矩阵且对角线元素大于 0 .

六、( 12 分) 证明: 的充要条件是 , 其中 .

七、( 14 分) 设 是互不相同的整数,且满足 , 证明 在有理数域上不可约.

八、( 15 分) 用 表示次数不超过 次的实系数多项式全体.

证明: 按照多项式的加法, 多项式与实数的乘法构成一个 维向量空间;
证明:差分算子 是定义在 上的一个线性变换;

九、(15 分) 设 是数域 上 维线性空间 上的一个线性变换, 是 的一个特征值. 的属于特征值 的特征子空间 的维数称为特征值 的几何重数; 作为 的特征多项式的根的重数称为特征值 的代数重数.

证明: 的几何重数不超过它的代数重数;
举例说明几何重数的确可以小于代数重数.

十、 (16 分) 设 是数域 上的线性空间, 是 上的双线性函数.

证明 : 不可能是它的两个真子空间的并;
给定向量 , 证明

<section role="presentation" data-formula="v_{\alpha}=\{\beta \in v\mid f\left( \alpha ,\beta \right) =f\left( \beta ,\alpha \right) \}

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

为 的一个子空间;

若已知对于任意向量 , 有 或 成立. 证明 是对称的或反对称的.

十一、(13 分) 设 是实矩阵. 证明: 线性方程组 有解的充要条件是向量 与齐次线性方程组 的解空间正交.